2005年高考数学题与教材例、习题的关系分析

陈三军

    “源于教材，高于教材”是高考命题原则之一，这就决定了高考试题和教材例习题有天然的，割不断的“血缘”关系。从今年的高考试题来看，无论是全国卷还是地方卷都可以看到教材中例、习题的影子；教材中所要求的知识、技能、方法或是数学思想，在试卷得到了体现。相当多的高考题源于教材，即使是综合题，也是由教材的基本题组合、加工、发展而来的，教材是高考命题知识、方法、思想的重要来源。
    一、改变教材例、习题数据编制的高考试题
    对教材中习题的数量关系进行简单变式是高考基础知识、基本技能考查的一种最简单形式，突出的是对中学数学知识主干内容的考查。
    例1 （2005年全国卷ii第14题）圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为      。
    本题考查点到直线的距离、圆的方程等基础知识。人教版第二册（以下简称教材）p82有：求圆心(3，-5)，与直线x-7y+2=0相切的圆方程。题目条件和所求完全一样，只是数字变了。
    二、直接或间接应用例、习题的思想、方法和结论编制的高考试题
    高考题对基本技能考查，除了对教材直接反映的基本方法、基本技能熟练程度的考查，更进一步考查考生掌握教材例、习题中所蕴含的数学思想和数学方法。
    例2 （2005年江西卷）若函数是奇函数，则a= .
    本题考查函数的奇偶性，教材第一册上p102例2：函数（1）求反函数y=f-1（x）；［答案：］，（2）判断函数y=f-1（x）是奇函数还是偶函数。（答案：奇函数）如果能用教材例题结论，则高考题迎刃而解。
    例3 （2005年广东卷第18题）箱中装有大小相同的黄、白两种顔色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s∶t，现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数。（i）求ξ的分布列；（ii）求ξ的数学期望。
    解：（Ⅰ）略。
    （Ⅱ）
    求数学期望eξ，则根据第一册p130推导等比数列的前n项和公式的方法（错位相消）可求得。
    高考不仅仅直接考查知识结论的应用，试题中还有大量的考查例习题和推导公式中所反映的思想方法的考题。因此教师应坚定不移地把复习重点放在数学问题的最基本的思想方法上，重视知识的发生、发展过程和对知识的反思，引导学生把握最基本的知识和技能。没有扎实的基础，就没有能力的提高。
    三、改变教材问题的背景编制的高考试题
    今年高考命题，更加注重开发教材，研究教材，挖掘教材中数学模型所蕴涵的功能和价值，如：改变问题背景，让典型例、习题披上新装，焕发出新的活力。
    例4 （2005年上海卷第20题）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价的面积均比上一年增加50万平方米。那么，到哪一年底，
    （1） 该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米。
    （2） 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
    本题贴近生活，反映我国当前住房的数学应用题，富有浓厚的时代气息。主要考查将实际问题转化为数学问题的数学建模能力，考查了等比数列有关知识。
    第一册上p142第8题：某地现有居民住房的总面积为am2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房。
    （1） 如果10后该住房总积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积是多少？
    （2） 过10年后还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积百分比是多少？
    两题住房背景有所不同，但所考查的问题从系统中来看，只是提问题的角度不同罢了。
    例5 （2005年全国理必修+选修ii卷第17题）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125。
    （1） 求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？
    （2） 计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率。
    第二册下p23第23题。某售货员负责三个柜面上售货。如果在某一小时内柜面不需要售货员照顾的概率，第1柜面是0.9，第2柜面是0.8，第1柜面是0.7，假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时至有1个柜面需要售货员照顾的概率。
    高考题相对于教材背景变了，已知方面做了一层包装，但是题型是相同的。第二问和教材中所求完全一样。
    复习时要充分发挥教材功能，从繁重的复习资料中跳出来，研读教材、吸取营养，提取例、习题中所包含的数学模型，更好地提高学生的数学素养。
    四、 拓展教材例、习题编制的高考试题
    教材中例、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源。今年有些高考题是对教材例、习题研究的继续。
    高考题以教材题为核心，进一步考核了三角函数正弦二角和公式的逆用、周期和值域。
    例6 （2005年广东卷第14题）
    设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用 f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）= ；当n＞4时，f（n）= ；用n表示。
    第三册选修Ⅱp66例5：平面内有n（n≥2）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f（n）等于。
    高考题相对于教材而言结构完全一样。只是对于条件略作改动，题型由证明变成了填空题。而答案得出要求考生通过观察、归纳出其中的规律，最后得出f（n）的表达式。
    例7 （2005年江苏卷第19题）如图，圆o₁与圆o₂的半径都是1，o₁o₂=4，过动点p分别作圆o₁.圆o₂的切线pm、pn（m、n分别为切点），使pm=pn。试建立适当的坐标系，并求动点p的轨迹方程。
    第二册上p85例2：求证到圆心距离为a（a＞0）的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。

    高考题对于教材而言，图形结构完全相同，解题方法也是一样，只是条件由pm=pn变成了pm=pn。
    把研究性学习引进课堂，把研究性学习渗透到数学学习各个层面，加强对例、习题的反思教学、多角度、多层次的研究，巩固和加深对知识的理解水平，把握知识方法的深度和广度，进一步培养学生的适应能力和研究水平。
    五、 对高考复习的启示
    数学教材是学习数学的基础知识、形成基本技能的“蓝本”，能力是知识的传授和学习过程中逐步培养和发展的。教材是经专家反复推敲的，它包含了所有重要的数学知识、方法、思想。今年的高考题和教材联系如此紧密，我们在高考数学复习时应回归课本，夯实基础，吃透教材，用活教材，尤其对于课本中典型的例、习题要加以引伸、拓宽、变化，做到举一返三，举三返一。
    例8 高中数学第二册上p108习题第一题：△abc一边的两个端点是b（0，6）和c（0，-6），另两边所在的直线斜率之积为，求顶点a的轨迹。
    解：（略）
    提问：（1）当斜率之积为-时，则a的轨迹是什么？（高中数学第二册p96练习）
    （2）当斜率之积是m呢？
    略解：设a（x，y）依题意有：化简得：y2-36=mx2。（略，对m进行讨论便得到不同的曲线。）
    在本题变化过程中，由特殊抽象到一般，再从一般回到特殊。让学生对圆锥曲线的认识经历了螺旋式上升的过程，对圆锥曲线的结构有整体性的认识。在这过程中培养了学生思维的深刻性，收敛性和发散性。
    例9 高中数学第二册（上）p119习题第七题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1·y2=-p2.
    证明：（略）
    提问：（1）x1·x2是常数吗？
    （2）是常数吗？
    （3）设则|ab|=?.
    （4）设a、b在准上的射影，分别为a′，b′，那么直角梯形aa′b′b的对角线的交点是否为坐标原点o，换言之，若直线ao与准线交点为b′，那么bb′是否与轴x平行？
    （5）∠aob能否为直角？锐角？钝角？
    本题通过对例题多角度提问，充分地挖掘习题的丰富内涵，培养了学生的创新精神，探索精神。
    研究教材，吃透教材，不放过那些可能作为知识、技能、方法、思想考查的载体的题目，深入探讨可能被利用的题目，充分发现它的价值，发挥它的潜在功能，这是我们备考过程中一定要做的工作。
   
    参考文献：
    1.《十年高考分类解析与应试策略》 周宝生、殷玉波主编 南方出版社出版
    2.《2005年高考简报》柳柏濂 高等教育出版社
    3.《全日制普通高级中学教科书（试验修订本。必修）数学》第一、二、三册 人民教育出版社
 

（作者单位 广州市番禺区石楼中学    本文学科编辑 许世红） 选自《广州教学研究》总第381期

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